Alexey Botvinov wurde in Odessa geboren, wo er seine musikalischen Studien begann. Im Alter von 19 Jahren gewann er 1983 als jüngster Teilnehmer den "Allunions-Rachmaninow-Wettbewerb" in Moskau und wurde in der Folge in seiner Heimatstadt zum Solisten der Philharmonie sowie zum Lehrer am Konservatorium von Odessa ernannt. 1987-1989 war er Assistent von Prof. Gornostayeva am Moskauer Konservatorium. Er gewann den "Bach-Wettbewerb" in Leipzig und den "Clara Schumann-Wettbewerb" in Düsseldorf. Botvinov hat später bei Alexis Weissenberg studiert.
1993 spielte er mit dem Tschaikowski Radio-Symphonieorchester Moskau unter Vladimir Fedoseyev das 3. Klavierkonzert "Ave Maria“ von A. Karamanov in Moskau (Uraufführung) und zur Eröffnung der Konzertsaison Tschaikowskis erstes Klavierkonzert in der Zürcher Tonhalle.
1994-1996 lebte Alexey Botvinov in Düsseldorf, wo seine enge Zusammenarbeit mit Heinz Spoerli begann. Seitdem Heinz Spoerli nach Zürich verpflichtet wurde, war Alexey Botvinov fur 19 Jahre als ständiger Gast mit dem Zürcher Ballett verbunden, welches ihn auch auf seine zahlreiche Tourneen einlädt. Mit großem Erfolg spielt er dabei in mehr als 20 Balletten Musik von Mozart, Chopin, Brahms, Prokofjew, Strawinsky und Schnittke.
Seit 1995 interpretiert Alexey Botvinov Bachs "Goldberg-Variationen", welche zur Visitenkarte des Zürcher Balletts geworden sind. Über 150 Aufführungen fanden seither in den meisten Ländern Europas, in Kanada, Japan, Israel und Südafrika statt.
Im April 2005 gab Alexey Botvinov mit großem Erfolg sein Debüt in der Wigmore Hall London mit Werken von Tschaikowsky und Rachmaninow. Im März 2006 gab er vor begeistertem Publikum ein Klavierrezital im Kammermusiksaal der Berliner Philharmonie. Zwei Monate später begleitete er das Zürcher Kammerorchester auf seiner große China-Tournee.
Auf der Deutschland-Tournee mit der Königlichen Philharmonie von Flandern konnte er mit dem 2. Klavierkonzert von Rachmaninow im Oktober in der Kölner Philharmonie, in Wiesbaden, Aachen und in Roeselare (Belgien) große Erfolge feiern. Jedes seiner Konzerte auf der Asien-Tournee im Oktober 2007 (Hong Kong, Singapore, Kuala Lumpur, Jakarta, Taiwan) wurde vom Publikum mit Standing Ovations belohnt.
Von 2009-2010 war Botvinov künstlerischer Leiter des Odessa National Opera Theaters. Während dieser Zeit inszenierte er zwei sehr erfolgreiche Neuproduktionen: Die Oper "Turandot" mit dem Regisseur C. Goetz (Deutschland) und das Ballett "Nureyev forever", begleitet am Klavier, wobei das Solo von ihm selbst gespielt wurde. Dies waren die ersten modernen Konzept-Produktionen für das Opera Theater in der Ukraine überhaupt.
Botvinov sucht immer neue Wege der Präsentation klassischer Musik. Bei seinem Projekt "Visual Reality of Music" wandeln Musik und visuelle Effekte ein traditionelles Konzert in ein erstaunliches Multimedia-Ereignis um. Im Jahr 2010 begann Botvinov das einzigartige "Bach Reloaded"-Projekt, bei dem Bachs Meisterwerk mit orientalischen Rhythmen von Weltstar-Perkussionist Burhan Öcal vereint wird. Konzerte in Paris, Istanbul, Zürich, Kiew, Odessa, Abu-Dhabi und auf dem Montreux Jazz-Festival feierten sensationelle Erfolge bei Publikum und Fachleuten.